传动系统可靠性分析

齿轮传动因其具有定传动比、大功率、高效率、低噪声等优点，被广泛应用于汽车变速器、航空航天飞行器、工业齿轮减速器等各种动力传动系统中。目前，齿轮传动研究的关注焦点逐渐从原先的机械设计、强度设计以及动态特性分析等转移到设计/制造参数的随机性分析以及传动系统可靠性设计等方面。究其原因是，在齿轮传动的设计、制造、安装和运行过程中均存在众多的随机性影响因素，如随机性的制造和装配误差、工作环境复杂多变引起的外载荷随机性波动、啮合刚度的时变特性、摩擦和润滑的模糊性等。这些随机性因素的存在，极大地改变了齿轮系统的动态特性，并最终影响齿轮装置的使役性能。

而齿轮传动可靠性是作为衡量齿轮传动使役性能的重要指标之一，正是研究系统在各种随机因素作用下的安全性问题。传统的可靠性分析主要以确定的强度、刚度、安全系数等作为可靠度指标；而随着研究的深入、社会的发展以及设备要求的提高，可靠性研究打破了传统的确定论方法，开始与随机性因素相结合，考虑材料、应力、强度等因素的离散性和随机性。

此处仅以区间算法描述随机性因素，以切比雪夫扩张函数法求解动力学微分方程，以应力-强度干涉理论分析传动可靠性，对可靠性计算的流程作简要介绍。

1.以区间算法描述随机性因素

考虑到随机性参数分布的不确定性，将以区间数学为工具来描述参数的随机性，定义区间参数为实数集的一个子集，则区间参数可表示为：

式中，表示区间参数的下限，即随机性参数能够取到的最小值；表示区间参数的上限，即随机性参数能够取到的最大值。于是，区间参数的中值和区间参数范围宽度分别为：

2.以切比雪夫扩张函数法求解动力学微分方程

假设含区间参数的微分方程组为：

式中，表示初始值，则表示初始值区间。

对于n维区间参数有向量区间，假设其初始区间为向量区间，则将初始区间和参数区间合并为一个向量区间，并可通过线性变换将其转化为含标准区间向量，具体线性变换如下：

用数值法求解微分方程时，通常是将积分区间离散为若干子区间，插值点的计算与切比雪夫级数插值点的计算类似。假设切比雪夫级数的阶次为k阶，则差值点可由下式计算，

利用数值法中的4阶变步长龙格—库塔法求解每个插值点处的微分方程，再利用切比雪夫级数综合各插值点处的微分方程解，从而计算出含区间参数微分方程在时刻t时的解区间。

对于k阶多维切比雪夫级数对多维原函数进行近似展开表达，可将式(4)写成如下的多维表达式：

式中，为n维切比雪夫系数；l为切比雪夫级数中下标i₁,i₂,…,i_n为0的个数。

n维切比雪夫系数可类似一维切比雪夫系数f_i得到，

式中，n维插值点为n个一维插值点的n维张量积，将多维切比雪夫多项式系数代入式(8)即可构造出多维切比雪夫近似多项式。

将切比雪夫级数中的变量x替换为区间变量[x]，则可以获得函数f(x)的切比雪夫扩张函数，可得相应的多维切比雪夫扩张函数，

数值法计算每个时间节点处的解区间仅与前一个时间节点的解区间相关，由此可得各时间节点解区间的递推公式：

对上式右端使用切比雪夫扩张函数，可得:

3.以应力-强度干涉理论分析传动可靠性

机械零部件能否正常使用取决于在一定的可靠度前提下，危险部位的最小强度是否大于或等于此处的最大应力；否则，认为机械零部件已处于失效状态。此处，“应力”和“强度”并不仅仅是狭义上的应力和强度，而是一个广义的概念。一般来说，可以将作用于零件上的一切物理量如压力、磨损、位移等量统称为零件的广义应力，以符号s表示；将零件承受广义应力的能力统称为零件的广义强度，以符号S表示。

一般情况下，可假设零件的广义强度分布和广义应力分布是相互独立的，即在概率统计中，应力和强度的随机概率关系满足下式：

上述的条件概率，从统计学的角度说明了广义应力和广义强度之间的关系，即无论应力的概率统计分布属于何种形式，并不影响强度的分布规律或者受强度的分布规律影响。这条基础假设基本上符合实际情况，也为机械零件可靠性概率运算提供了便利。于是，在进行可靠性分析时，针对所要求的结构功能，可以建立如下的功能函数：

式中，变量x₁,^…,x_n表示影响功能函数的各项随机因素；S(x₁,^…,x_n)表示强度随机变量；s(x₁,^…,x_n)表示应力随机变量。则当功能函数g>0，表示结构功能处于可靠状态；当功能函数g<0，表示结构功能处于失效状态；当功能函数g=0，表示结构功能处于极限状态。

通常，可靠度可表述为零件处于可靠状态的概率，或者称为可靠概率，其数学表达如下：

式中，P_s表示零件的可靠度，P(·)表示括号内事件发生的概率。

同理，有不可靠度即失效概率P_f计算公式如下：

零件达到极限状态的概率表达式为：

基于应力—强度干涉理论，可假设强度分布和应力分布为独立分布，令f(S)表示强度随机变量的概率密度函数，f(s)表示应力随机变量的概率密度函数，则有应力—强度干涉模型如图1所示。

根据图1所示的零件可靠概率，即可靠度P_s又可写成：

于是，零件的失效概率P_f为，

4.案例分析结果

图2为以区间数学描述的齿距偏差对动态啮合力和动态传递误差的影响；图3为修形量波动对齿轮接触疲劳可靠性产生的影响。

图2 齿距偏差对动态拟合力及动态传递误差的影响

图3 轮齿修形对接触疲劳可靠性的影响